Beklenen değer: uzun vadenin ortalaması
Güncellendi:
Bir meyve bahçesinde ağaç başına verim her yıl değişir; bir yıl kırk kasa, ertesi yıl otuz kasa. Ama on yılın ortalaması size bahçenin gerçek gücünü söyler. Beklenen değer, olasılıkta tam olarak bu ortalamadır: aynı deney sonsuza yakın tekrarlansaydı, sonuçların ortalama olarak yaklaşacağı sayı.
Tanım ve hesap
Bir deneyin olası sonuçlarından her birini kendi ihtimaliyle çarpın, çıkan değerleri toplayın. Elde ettiğiniz sayı beklenen değerdir. Bu sayı çoğu zaman tek bir denemede hiç görülmeyebilir; yalnızca ağırlık merkezi gibi çalışır.
Altı yüzlü zar örneği
Zarın yüzleri bir ile altı arasında, her birinin ihtimali altıda bir. Hesap: (1+2+3+4+5+6) bölü 6 eşittir 3,5. Zarda hiçbir zaman 3,5 gelmez; ancak çok sayıda atışın ortalaması bu sayıya doğru yaklaşır. Beklenen değer, bir sonucun tahmini değil, bir dağılımın özetidir.
Ödüllü çekiliş örneği
Temsili bir örnek düşünelim: katılım ücreti 10 TL olan bir çekilişte 1.000 bilet satılıyor ve tek ödül 6.000 TL. Bir biletin beklenen getirisi 6.000 bölü 1.000 eşittir 6 TL. Bilet fiyatı 10 TL olduğuna göre bilet başına beklenen net sonuç eksi 4 TL. Bu, her denemede 4 TL kaybedileceği anlamına gelmez; çoğu bilet 10 TL kaybettirir, çok az bilet büyük kazanç getirir. Ortalama ise eksidir.
Sonuçları tabloyla görmek
Aşağıdaki tablo yukarıdaki temsili çekilişin iki olası sonucunu ve ağırlıklarını gösteriyor.
| Sonuç | İhtimal | Net değer | Katkı (ihtimal x değer) |
|---|---|---|---|
| Ödül kazanılır | 1/1.000 (%0,1) | +5.990 TL | +5,99 TL |
| Kazanılmaz | 999/1.000 (%99,9) | -10 TL | -9,99 TL |
| Toplam beklenen değer | - | -4,00 TL | |
Büyük sayılar yasası ile ilişkisi
Beklenen değer bir hedef çizgisiyse, büyük sayılar yasası o çizgiye yaklaşma hikâyesidir. Deneme sayısı arttıkça gözlenen ortalama beklenen değere yakınsar. Ancak bu yakınsama toplam fark üzerinden değil, ortalama üzerinden gerçekleşir: bin atışta yazı ile tura farkı yirmi olabilir ve yüz bin atışta altmış olabilir; fark mutlak olarak büyür, oran olarak küçülür. Bu ayrım, "uzun vadede dengelenir" cümlesinin neden yanlış anlaşıldığını açıklar.
Beklenen değer neyi söylemez?
- Tek bir denemenin sonucunu söylemez; yalnızca uzun dönem ortalamasını verir.
- Dalgalanmanın büyüklüğünü anlatmaz; aynı ortalamaya sahip iki deney çok farklı iniş çıkışlar taşıyabilir.
- Kaynakların sınırsız olduğunu varsayar; oysa sermayesi tükenen biri uzun vadeye hiç ulaşamayabilir.
- Değeri sadece parayla ölçer; keyif, zaman ve stres gibi kalemleri hesaba katmaz.
Varyans: bahçenin hava dalgası
Aynı ortalamayı veren iki bahçeden biri her yıl yaklaşık aynı ürünü verirken ötekinde bir yıl bolluk, bir yıl kıtlık olur. Bunu ayıran kavram varyans, yani yayılımdır. Sonuçları geniş aralıkta savrulan bir deneyde, ortalama negatif olsa bile kısa sürede kazanç görülebilir; ama bu kısa süreli parlama beklenen değeri değiştirmez. Beklenen değeri okumak, yayılımı da birlikte okumayı gerektirir.
Ortalama ağaçtır, tek meyve değil. İkisini birbirinin yerine koymak çoğu hesap hatasının başlangıcıdır.
Tüm tutarlar ve ihtimaller temsili örnektir; gerçek bir etkinliğin kurallarını yansıtmaz.
Küçük bir deneme
Elinizde bir zar varsa kâğıda otuz atışın sonuçlarını yazıp ortalamasını alın. Büyük ihtimalle 3,5'ten biraz uzak çıkacaksınız; sonra yüz atışa çıkın, ortalama genellikle yaklaşır. Bu küçük deney, yukarıdaki kuramın bir tohumdan fidana dönüşmesini kendi gözünüzle görmenizi sağlar. Sonuçlar elbette her seferinde farklı olacaktır; bu da zaten konunun asıl dersidir.
18 yaş altındakiler için uygun değildir. Bu sayfa bilgilendirme amaçlıdır; herhangi bir platformu önermez.